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위의 증명을 돌아보면 1.2.3절에서 아르키메데스 원리를 증명했을 때와 마찬가지로, 집합 S의 상
한 c가 존재한다는 사실이 중요한 역할을 하는 것을 알 수 있습니다. 이것이야말로 실수의 완비성
에서 얻는 사실입니다. 이와 같이 실수의 완비성에 의해 (2-24)에 정의된 수학적 의미에서의 연속

성과 그래프 선이 이어져 있다는 직감적인 의미에서의 연속성이 연결됩니다. 2
에서 연
마지막으로 함수 여러 개를 조합할 때의 연속성을 생각해봅시다. 예를 들어 함수 f(x)가 x 0
)에서 연속이라 하면 합성함수 에서 연속이 됩니다 정리 11 . 함수의 기본 특성
속이고 함수 (y)가 y 0 = f(x 0 는 x 0
왜냐하면, 우선 (y)의 연속성에 의해 임의의 > 0에 대해 다음과 같이 되는 δ' > 0을 취하기 때
문입니다.

(2-30)

| < δ'의 조건을 만족한다면 무엇이라도 좋다는 점에 주의하세요. 더욱이 이
(2-30)의 y는 |y - y 0
δ'에 대해서는 f(x)의 연속성에 의해 다음과 같이 되는 δ'를 취할 수 있습니다.

(2-31)

따라서 (2-31)을 만족하는 x를 하나 가지고 와서 (2-30)의 y를 y = f(x)로 취합니다. 이때 |y -
)| < δ'가 되므로 다음이 성립합니다.
y 0 | = |f(x) - f(x 0

즉, 임의의 > 0에 대해 다음과 같이 되는 δ > 0을 취할 수 있음을 증명한 것입니다.

이외에 함수 f (x)와 (x) 양쪽 모두가 점 x 에서 연속이면 h(x) = f (x) + (x) 또는 h(x) = f (x) (x)
0
도 점 x 에서 연속인 함수가 됩니다. 또는 (x ) ≠ 0이면 도 점 x 에서 연속인 함수
0 0 0
가 됩니다 정리 12 . 이는 함수의 극한에 관한 정리 (2-13)~(2-15)에 다음 수식, 즉 연속성의 정의

를 대입하면 얻을 수 있습니다.

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