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또한, 우극한 또는 좌극한의 한쪽만 일치하면, 즉 다음 중 어느 한쪽만 일치하는 경우에는 각각 점
에서 우연속 또는 좌연속이라고 합니다.
x 0

또는

함수의 연속성은 직감적으로 함수의 그래프가 연속으로 연결되어 있는지를 보여주는 것입니다.
예를 들면 앞서 본 헤비사이드함수(그림 2-6)는 x = 0 이외의 모든 점에서 연속이고, 점 x = 0에
서는 우연속입니다.

에서 연속인 것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다 정의 5 .
또한, 함수 f(x)가 x 0

극한의 정의에서는 라는 조건, 즉 x = x 0 인 경우를 제외하고 생각해야 했지만,
이면 은 명
이 경우에는 x = x 0 의 경우를 포함해도 문제없습니다. x = x 0
확하게 성립하기 때문입니다.

그래서 함수 f(x)가 집합 A의 모든 점 x에서 연속이 되는 경우, 이 함수는 A에서 연속이라고 합
니다. 특히 폐구간 I = [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대해서는 유명한 중간값의 정리가 성립합니

다. f(a)와 f(b)의 중간에 있는 임의의 값 u에 대해 u = f(c)가 되는 c ∈ I가 존재한다는 것입니다
정리 10 . y = f(x)가 연속으로 연결되어 있는 그래프를 그려보면 명확하게 성립함을 알 수 있지만,
그래프를 사용하지 않고 수식만으로 엄밀하게 증명하려면 좀 더 깊이 생각해야 합니다.

참고로 그래프를 그리면 자명하다고 말했지만, 이는 ‘연속인 함수의 그래프 선은 연속적으로 연결
되어 있다’는 직감에 기반을 두고 있습니다. ‘그래프 선이 연결되어 있다’는 직감에 의존하는 것은
결국 실수의 완비성에 의존하는 것입니다. 그러므로 실수의 완비성을 이용해 중간값의 정리를 엄

밀하게 증명해봅시다. 여기서는 특히 의 경우를 고려합니다. 의 경우도
같은 흐름으로 증명할 수 있습니다. 또한, f(a) = f(b)의 경우 중간값은 u = f(a) = f(b)밖에 존재
하지 않습니다. 따라서 c = a 또는 c = b이므로 자명하게 성립합니다.

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